Phương trình – Wikipedia tiếng Việt

x + 15 = 71 trong ký hiệu hiện đại. Xuất hiện trong The Whetstone of Witte của [1]Lần sử dụng tiên phong của một dấu bằng, tương tự với 14 + 15 = 71 trong ký hiệu văn minh. Xuất hiện trongcủa Robert Recorde xứ Wales ( 1557 ) .

Trong toán học, phương trình là một phát biểu khẳng định sự bằng nhau giữa hai biểu thức có chứa biến. Phương trình trong các ngôn ngữ khác nhau có thể có nhiều ý nghĩa khác nhau; ví dụ, trong tiếng Pháp, một équation được định nghĩa là chứa một hoặc nhiều biến, còn trong tiếng Anh bất kỳ đẳng thức nào đều là một equation.[2]

Giải một phương trình chứa biến là việc xác định giá trị của các biến làm cho đẳng thức trở nên đúng. Biến còn được gọi là ẩn số, và các giá trị của ẩn số thỏa mãn được gọi là nghiệm của phương trình. Có hai loại phương trình: đồng nhất thức và phương trình có điều kiện. Một đồng nhất thức đúng với tất cả các giá trị của biến. Phương trình có điều kiện chỉ đúng với các giá trị nhất định của các biến số, hoặc không đúng với giá trị nào.[3][4]

Một phương trình được viết dưới dạng hai biểu thức, nối với nhau bằng dấu bằng ( ” = ” ). Các biểu thức ở hai bên của dấu bằng được gọi là ” vế trái ” và ” vế phải ” của phương trình .Loại phương trình thông dụng nhất là phương trình đại số, trong đó hai vế là những biểu thức đại số. Mỗi bên của một phương trình đại số chứa một hoặc nhiều số hạng. Ví dụ, phương trình

A x 2 + B x + C = y { \ displaystyle Ax ^ { 2 } + Bx + C = y }{\displaystyle Ax^{2}+Bx+C=y}

có vế trái là Ax2 + Bx + C với ba số hạng, và vế phải là y chỉ có một số hạng. Các ẩn số là x và y, còn các tham số là A, B, C.

Một phương trình tương tự như như một cái cân mà khối lượng được đặt vào. Khi đặt một vật gì đó có khối lượng bằng nhau ( ví dụ như hạt ) vào hai đĩa, thì hai bên cân đó cân đối và được cho là bằng nhau. Nếu một lượng hạt được lấy ra từ một đĩa của cân thì một lượng hạt có khối lượng tương tự phải được lấy ra khỏi đĩa kia để giữ cho cân được cân đối. Tương tự như vậy, để giữ cho một phương trình ở trạng thái cân đối, những phép toán cộng, trừ, nhân và chia giống nhau phải được thực thi trên cả hai vế của một phương trình để nó vẫn đúng .Trong hình học, phương trình được sử dụng để diễn đạt những hình dạng khác nhau. Các phương trình được xem xét, ví dụ điển hình như phương trình ẩn hoặc phương trình tham số, có vô số nghiệm, thay vì xác lập đơn cử những nghiệm hoặc liệt kê chúng, người ta sử dụng phương trình để nghiên cứu và điều tra đặc thù của những hình dạng. Đây là sáng tạo độc đáo khởi đầu của hình học đại số, một nghành nghề dịch vụ quan trọng của toán học .

Đại số nghiên cứu hai họ phương trình chính: phương trình đa thức và trường hợp đặc biệt phương trình tuyến tính. Khi chỉ có một biến, phương trình đa thức có dạng P(x) = 0, trong đó P là một đa thức; còn phương trình tuyến tính có dạng ax + b = 0, trong đó a và b là các tham số. Để giải các phương trình dạng này, người ta sử dụng các kỹ thuật hình học hoặc thuật toán bắt nguồn từ giải tích hoặc đại số tuyến tính. Đại số cũng nghiên cứu phương trình Diophantine trong đó các hệ số và nghiệm là các số nguyên. Có nhiều kỹ thuật khác nhau được sử dụng, chủ yếu đến từ lý thuyết số.

Phương trình vi phân là phương trình liên quan đến một hoặc nhiều hàm và đạo hàm của chúng. Chúng được giải khi ta tìm được một biểu thức cho hàm không phụ thuộc vào đạo hàm của nó. Phương trình vi phân được sử dụng để mô hình hóa các quá trình liên quan đến tốc độ thay đổi của biến số và được sử dụng trong các lĩnh vực như vật lý, hóa học, sinh học và kinh tế.

Ký hiệu ” = “, Open trong mọi phương trình, được ý tưởng vào năm 1557 bởi Robert Recorde, người cho rằng không gì bằng nhau hơn hai đường thẳng song song có cùng độ dài. [ 1 ] x, y, z là các số thực, tương tự như trọng số.Minh họa một phương trình đơn thuần ; là những số thực, tương tự như như trọng số .Một phương trình tương tự như như cái cân, cân đối hoặc chênh lệch .Mỗi vế của phương trình tương ứng với một vế của sự cân đối. Các đại lượng khác nhau hoàn toàn có thể được đặt ở mỗi bên : nếu khối lượng ở hai bên bằng nhau thì cái cân sẽ cân đối, và tựa như như vậy thì cân đối biểu lộ số dư cũng là cân đối ( nếu không, thì cân đối tương ứng với một bất đẳng thức được biểu lộ bằng một bất phương trình ) .

Trong hình minh họa, x, yz là tất cả các đại lượng khác nhau (trong trường hợp này là số thực) được biểu diễn dưới dạng trọng số tròn và mỗi x, yz có trọng số khác nhau. Phép cộng tương ứng với việc thêm trọng lượng, trong khi phép trừ tương ứng với việc loại bỏ trọng lượng khỏi những gì đã có. Khi bình đẳng giữ nguyên, tổng trọng lượng của mỗi bên là như nhau.

Tham số và ẩn số[sửa|sửa mã nguồn]

Phương trình thường chứa các số hạng khác với ẩn số. Các thuật ngữ khác này, được giả định là đã biết, thường được gọi là hằng số, hệ số hoặc tham số.

Một ví dụ về phương trình bao gồm xy là ẩn số và tham số R

x

2

+

y

2

=

R

2

.

{\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.}

{\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.}

Khi R được chọn có giá trị là 2 (R = 2), phương trình này sẽ được thấy, khi được phác thảo trong hệ tọa độ Descartes, là phương trình cho một đường tròn cụ thể có bán kính là 2. Do đó, phương trình với R không xác định là phương trình tổng quát của đường tròn.

Thông thường, các ẩn số được ký hiệu bằng các chữ cái ở cuối bảng chữ cái: x, y, z, w,…, trong khi các hệ số (tham số) được ký hiệu bằng các chữ cái ở đầu bảng: a, b, c, d,…. Ví dụ, phương trình bậc hai tổng quát thường được viết ax2 + bx + c = 0. Quá trình tìm nghiệm, hoặc trong trường hợp tham số, biểu diễn ẩn số dưới dạng tham số được gọi là giải phương trình. Biểu thức của nghiệm như vậy diễn đạt bằng các thông số còn được gọi là nghiệm số.

Hệ phương trình là một tập hợp các phương trình đồng thời, thường có một số ẩn số, mà các nghiệm chung được tìm kiếm. Do đó, một nghiệm của hệ phương trình là một tập hợp các giá trị cho mỗi ẩn số, chúng cùng nhau tạo thành một nghiệm cho mỗi phương trình trong hệ thống. Ví dụ, hệ phương trình:

3
x
+
5
y

=
2

5
x
+
8
y

=
3

{\displaystyle {\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}}

có nghiệm duy nhất x = −1; y = 1.

Đồng nhất thức[sửa|sửa mã nguồn]

Đồng nhất thức là một phương trình đúng với tất cả các giá trị có thể có của (các) biến mà nó chứa. Trong quá trình giải một phương trình, một đồng nhất thức thường được sử dụng để đơn giản hóa một phương trình làm cho nó dễ giải hơn.

Trong đại số, một ví dụ về đồng nhất thức là hiệu của hai bình phương :

x

2

y

2

=
(
x
+
y
)
(
x

y
)

{\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)}

{\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)}

Là đúng với mọi xy.

Lượng giác là một nghành sống sót nhiều đồng nhất thức ; chúng rất hữu dụng trong việc vận dụng hoặc giải những phương trình lượng giác. Hai trong số nhiều đồng nhất thức tương quan đến hàm sin và côsin là :

sin

2


(
θ
)
+

cos

2


(
θ
)
=
1

{\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}

{\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}

sin

(
2
θ
)
=
2
sin

(
θ
)
cos

(
θ
)

{\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )}

{\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )}

luôn đúng với mọi θ.

Ví dụ, để tìm giá trị của θ thỏa mãn phương trình:

3
sin

(
θ
)
cos

(
θ
)
=
1

,

{\displaystyle 3\sin(\theta )\cos(\theta )=1\,,}

{\displaystyle 3\sin(\theta )\cos(\theta )=1\,,}

trong đó θ được biết là giới hạn trong khoảng từ 0 đến 45 độ, chúng ta có thể sử dụng đồng nhất thức cho tích ở trên để tạo ra:

3
2

sin

(
2
θ
)
=
1

,

{\displaystyle {\frac {3}{2}}\sin(2\theta )=1\,,}

{\displaystyle {\frac {3}{2}}\sin(2\theta )=1\,,}

cho tác dụng

θ
=

1
2

arcsin

(

2
3

)

20.9

.

{\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {2}{3}}\right)\approx 20.9^{\circ }.}

{\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {2}{3}}\right)\approx 20.9^{\circ }.}

Vì hàm sin là một hàm tuần hoàn nên có vô số nghiệm nếu không có giới hạn nào trên cho θ. Trong ví dụ này, giới hạn θ nằm trong khoảng từ 0 đến 45 độ ngụ ý rằng chỉ có một nghiệm duy nhất.

Phương trình tương tự và phương trình hệ quả[sửa|sửa mã nguồn]

Cho phương trình (1)

f
(
x
)
=
g
(
x
)

{\displaystyle f(x)=g(x)}

{\displaystyle f(x)=g(x)} có tập nghiệm là

S

{\displaystyle S}

S và phương trình (2)

f

1

(
x
)
=

g

1

(
x
)

{\displaystyle f_{1}(x)=g_{1}(x)}

{\displaystyle f_{1}(x)=g_{1}(x)} có tập nghiệm là

S

1

{\displaystyle S_{1}}

S_{1}.

  • Nếu S = S 1 { \ displaystyle S = S_ { 1 } }{\displaystyle S=S_{1}}f ( x ) = g ( x ) ⇔ f 1 ( x ) = g 1 ( x ) { \ displaystyle f ( x ) = g ( x ) \ Leftrightarrow f_ { 1 } ( x ) = g_ { 1 } ( x ) }{\displaystyle f(x)=g(x)\Leftrightarrow f_{1}(x)=g_{1}(x)}
  • Nếu S ⊂ S 1 { \ displaystyle S \ subset S_ { 1 } }{\displaystyle S\subset S_{1}}f ( x ) = g ( x ) ⇒ f 1 ( x ) = g 1 ( x ) { \ displaystyle f ( x ) = g ( x ) \ Rightarrow f_ { 1 } ( x ) = g_ { 1 } ( x ) }{\displaystyle f(x)=g(x)\Rightarrow f_{1}(x)=g_{1}(x)}nghiệm ngoại lai.

Ví dụ, phương trình

x
=
1

{\displaystyle x=1}

{\displaystyle x=1} có nghiệm

x
=
1.

{\displaystyle x=1.}

{\displaystyle x=1.} Nâng cả hai vế lên số mũ của 2 (có nghĩa là áp dụng hàm

f
(
s
)
=

s

2

{\displaystyle f(s)=s^{2}}

{\displaystyle f(s)=s^{2}} về cả hai vế của phương trình) thay đổi phương trình thành

x

2

=
1

{\displaystyle x^{2}=1}

{\displaystyle x^{2}=1}, không chỉ có nghiệm trước đó mà còn tạo ra nghiệm ngoại lai là

x
=

1.

{\displaystyle x=-1.}

{\displaystyle x=-1.}

Hơn nữa, nếu hàm không xác định tại một số giá trị (chẳng hạn như 1/x, không được xác định cho x = 0), các nghiệm tồn tại các giá trị đó có thể bị mất. Vì vậy, cần phải thận trọng khi áp dụng một phép biến đổi như vậy cho một phương trình.

Các phép đổi khác tương tự[sửa|sửa mã nguồn]

Các phép toán sau đây biến một phương trình thành một phương trình tương tự – với điều kiện kèm theo là những phép toán đó có ý nghĩa so với những biểu thức mà chúng được vận dụng :

  • Cộng, trừ, nhân, chia cả hai vế với cùng một số với điều kiện phép nhân và chia cùng một số khác 0 và không chứa ĐKXĐ.
  • Bậc của phương trình là bậc của các đa thức, ở phương trình (4) thì nó là phương trình bậc II.
  • Rút gọn phương trình về tối giản tương tự như rút gọn đa thức không vi phạm ĐKXĐ.
  • Căn bậc n hoặc nâng lũy thừa bậc n nếu các biểu thức ở 2 vế cùng dấu và không vi phạm ĐKXĐ.
  • Các nghiệm phải thỏa mãn ĐKXĐ và làm 2 vế phương trình bằng nhau

Các phép biến hóa trên là cơ sở của hầu hết những chiêu thức cơ bản để giải phương trình cũng như 1 số ít giải pháp ít cơ bản hơn, như chiêu thức khử Gauss .

Phương trình đa thức[sửa|sửa mã nguồn]

x2 – x + 2 = 0

là các điểm

y = x2 – x + 2

cắt trục x.Các nghiệm – 1 và 2 của phương trình đa thứclà những điểm đồ thị của hàm bậc hai cắt trục x .

Nói chung, một phương trình đại số hoặc phương trình đa thức là một phương trình có dạng

P
=
0

{\displaystyle P=0}

{\displaystyle P=0} hoặc

P
=
Q

{\displaystyle P=Q}

{\displaystyle P=Q}

Trong đó PQ là các đa thức với hệ số trong một số tập hợp số nào đó (số thực, số phức, v.v.), thường là tập hợp các số hữu tỉ. Một phương trình đại số là đơn biến nếu nó chỉ chứa một biến. Mặt khác, một phương trình đa thức có thể bao gồm một số biến, trong trường hợp đó nó được gọi là đa biến (nhiều biến, x, y, z, …). Thuật ngữ phương trình đa thức thường được ưu tiên hơn phương trình đại số.

Ví dụ ,

x

5


3
x
+
1
=
0

{\displaystyle x^{5}-3x+1=0}

{\displaystyle x^{5}-3x+1=0}

là một phương trình đại số ( đa thức ) đơn biến với những hệ số nguyên và

y

4

+

x
y

2

=

x

3

3


x

y

2

+

y

2

1
7

{\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}

{\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}

là một phương trình đa thức nhiều biến trên trường những số hữu tỉ .Một số nhưng không phải toàn bộ những phương trình đa thức với thông số hữu tỉ đều có nghiệm là biểu thức đại số với một số ít hữu hạn những phép toán chỉ tương quan đến những thông số đó ( nghĩa là nó hoàn toàn có thể được giải bằng đại số ). Điều này hoàn toàn có thể được thực thi cho toàn bộ những phương trình cấp một, hai, ba hoặc bốn ; nhưng so với bậc năm trở lên, nó hoàn toàn có thể được giải cho 1 số ít phương trình, nhưng như định lý Abel-Ruffini chứng tỏ, không phải cho tổng thể. Một lượng lớn nghiên cứu và điều tra đã được dành để thống kê giám sát những giá trị gần đúng đúng mực hiệu suất cao của những nghiệm thực hoặc nghiệm phức của một phương trình đại số đơn biến ( xem phần Tìm nghiệm nguyên của đa thức ) và những nghiệm chung của 1 số ít phương trình đa thức nhiều biến ( xem Hệ phương trình đa thức ) .

Hệ phương trình tuyến tính[sửa|sửa mã nguồn]

Cửu chương toán thuật là một cuốn sách ẩn danh của Trung Quốc đề xuất phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính.

Hệ phương trình tuyến tính (hay hệ tuyến tính) là một tập hợp các phương trình tuyến tính liên quan đến cùng một tập các biến. [a] Ví dụ:

3
x

+

2
y

z

=

1

2
x

2
y

+

4
z

=


2


x

+

1
2

y

z

=

0

{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}}

{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}}

Là một hệ ba phương trình theo ba biến x, y, z. Một nghiệm số cho một hệ thống tuyến tính là một phép gán các số cho các biến sao cho tất cả các phương trình được thỏa mãn đồng thời. Một nghiệm số cho hệ phương trình trên là

x

=

1

y

=


2

z

=


2

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}}

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}}

vì nó làm cho cả ba phương trình cùng đúng. Từ “hệ” chỉ ra rằng các phương trình được xem xét chung, thay vì riêng lẻ.

Trong toán học, kim chỉ nan về hệ tuyến tính là cơ sở và là một phần cơ bản của đại số tuyến tính, một chủ đề được sử dụng trong hầu hết những phần của toán học văn minh. Các thuật toán tính toán để tìm ra giải thuật là một phần quan trọng của đại số tuyến tính số và đóng một vai trò điển hình nổi bật trong vật lý, kỹ thuật, hóa học, khoa học máy tính và kinh tế tài chính. Một hệ phương trình phi tuyến tính thường hoàn toàn có thể được giao động bằng một mạng lưới hệ thống tuyến tính ( xem tuyến tính hóa ), một kỹ thuật hữu dụng khi tạo quy mô toán học hoặc mô phỏng máy tính của một mạng lưới hệ thống tương đối phức tạp .

Hình học giải tích[sửa|sửa mã nguồn]

Trong hình học Euclide, có thể liên kết một tập hợp các tọa độ với mỗi điểm trong không gian, ví dụ bằng một lưới trực giao. Phương pháp này cho phép người ta mô tả các hình hình học bằng các phương trình. Một mặt phẳng trong không gian ba chiều có thể được biểu diễn dưới dạng tập nghiệm của một phương trình có dạng

a
x
+
b
y
+
c
z
+
d
=
0

{\displaystyle ax+by+cz+d=0}

{\displaystyle ax+by+cz+d=0}. Ở đây

a
,
b
,
c

{\displaystyle a,b,c}

{\displaystyle a,b,c}

d

{\displaystyle d}

d là số thực và

x
,
y
,
z

{\displaystyle x,y,z}

{\displaystyle x,y,z} là các ẩn số tương ứng với tọa độ của một điểm trong hệ được cho bởi lưới trực giao. Giá trị

a
,
b
,
c

{\displaystyle a,b,c}

là tọa độ của một vectơ vuông góc với mặt phẳng được xác định bởi phương trình. Một đường được biểu thị là giao của hai mặt phẳng, đó là tập nghiệm của một phương trình tuyến tính duy nhất với các giá trị trong

R

2

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} hoặc dưới dạng tập nghiệm của hai phương trình tuyến tính với các giá trị trong

R

3

.

{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}

{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}

Đường conic là tập hợp các giao điểm của một mặt nón có phương trình

x

2

+

y

2

=

z

2

{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}

{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}} và một mặt phẳng. Nói cách khác, trong không gian, mọi hình nón được định nghĩa là tập nghiệm của phương trình mặt phẳng và phương trình của hình nón vừa cho. Chủ nghĩa hình thức này cho phép người ta xác định vị trí và thuộc tính của trọng tâm trong một đường conic.

Việc sử dụng những phương trình được cho phép người ta sử dụng một nghành nghề dịch vụ toán học to lớn để giải những câu hỏi hình học. Hệ tọa độ Descartes biến một bài toán hình học thành một bài toán nghiên cứu và phân tích, một khi những hình được đổi khác thành phương trình ; do đó tên hình học giải tích. Quan điểm này do Descartes nêu ra đã làm đa dạng chủng loại và sửa đổi loại hình học được những nhà toán học Hy Lạp cổ đại hình thành .Hiện nay, hình học giải tích chỉ định một nhánh hoạt động giải trí của toán học. Mặc dù nó vẫn sử dụng những phương trình để diễn đạt những số liệu, nó cũng sử dụng những kỹ thuật phức tạp khác như giải tích hàm và đại số tuyến tính .

Phương trình Descartes[sửa|sửa mã nguồn]

Một hệ tọa độ Descartes là một hệ tọa độ mà quy định cụ thể từng điểm duy nhất trong một mặt phẳng bởi một cặp số tọa độ, đó là những khoảng cách có dấu từ điểm đến hai trục cố định vuông góc với nhau, được đánh dấu bằng cách sử dụng cùng một vector đơn vị chiều dài.

Người ta hoàn toàn có thể sử dụng cùng một nguyên tắc để xác lập vị trí của bất kể điểm nào trong khoảng trống ba chiều bằng cách sử dụng ba tọa độ Descartes, là những khoảng cách có dấu đến ba mặt phẳng vuông góc với nhau ( hoặc tương tự, bằng phép chiếu vuông góc của nó lên ba đường vuông góc với nhau ) .

(xa)2 + (yb)2 = r2

trong đó ab là tọa độ của tâm

(a, b)

r là bán kính.Hệ tọa độ Descartes với đường tròn nửa đường kính là 2 với tâm ở gốc được lưu lại màu đỏ. Phương trình của đường tròn làtrong đóvàlà tọa độ của tâmvàlà nửa đường kính .

Việc phát minh ra hệ tọa độ Descartes vào thế kỷ XVII do René Descartes (tên Latinh: Cartesius) đã cách mạng hóa toán học bằng cách cung cấp mối liên hệ có hệ thống đầu tiên giữa hình học Euclid và đại số. Sử dụng hệ tọa độ Descartes, các hình dạng hình học (chẳng hạn như đường cong) có thể được mô tả bằng phương trình Descartes: phương trình đại số liên quan đến tọa độ của các điểm nằm trên hình dạng. Ví dụ, một đường tròn bán kính 2 trong một mặt phẳng, có tâm tại một điểm cụ thể được gọi là điểm gốc, có thể được mô tả là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ xy thỏa mãn phương trình x2 + y2 = 4.

Phương trình tham số[sửa|sửa mã nguồn]

Phương trình tham số cho đường cong bộc lộ tọa độ của những điểm trên đường cong dưới dạng hàm của một biến số, được gọi là tham số. [ 5 ] [ 6 ] Ví dụ ,

x

=
cos

t

y

=
sin

t

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}}

Là phương trình tham số của đường tròn đơn vị, trong đó t là tham số. Cùng với nhau, những phương trình này được gọi là biểu diễn tham số của đường cong.

Khái niệm về phương trình tham số đã được tổng quát hóa cho các bề mặt, đa tạp và các dạng đại số có số chiều cao hơn, với số lượng tham số bằng thứ nguyên của đa tạp hoặc đa dạng, và số phương trình bằng thứ nguyên của không gian trong đó đa tạp hoặc đa dạng được xem xét (đối với đường cong, kích thước là mộtmột tham số được sử dụng, đối với bề mặt có kích thước haihai tham số, v.v.).

Lý thuyết số[sửa|sửa mã nguồn]

Một phương trình Diophantine là một phương trình đa thức trong hai hay nhiều ẩn số mà chỉ cần quan tâm đến các nghiệm là các số nguyên (một nghiệm số nguyên là một nghiệm mà tất cả các ẩn số là các số nguyên). Phương trình Diophantine tuyến tính là một phương trình giữa hai tổng đơn thức bậc không hoặc bậc nhất. Một ví dụ về phương trình Diophantine tuyến tínhax + by = c, trong đó a, bc là các hằng số. Phương trình Diophantine hàm mũ là một phương trình mà số mũ của các số hạng của phương trình có thể là ẩn số.

Các bài toán Diophantine có ít phương trình hơn các biến chưa biết và liên quan đến việc tìm số nguyên cho kết quả chính xác cho tất cả các phương trình. Trong ngôn ngữ kỹ thuật hơn, các nghiệm này xác định một đường cong đại số, bề mặt đại số hoặc đối tượng tổng quát hơn, và hỏi về các điểm lưới trên đó.

Từ Diophantine dùng để chỉ nhà toán học Hy Lạp ở thế kỷ thứ III, Diophantus ở Alexandria, người đã nghiên cứu các phương trình như vậy và là một trong những nhà toán học đầu tiên đưa chủ nghĩa ký hiệu vào đại số. Nghiên cứu toán học về các vấn đề Diophantine mà Diophantus khởi xướng hiện nay được gọi là giải tích Diophantine.

Đại số và số siêu việt[sửa|sửa mã nguồn]

Một số đại số là 1 số ít mà là nghiệm của một phương trình đa thức khác 0 một biến với những thông số hữu tỉ ( hoặc tương tự – bằng cách xóa những mẫu số – với những hệ số nguyên ). Các số như pi không phải là đại số mà được gọi là số siêu việt. Hầu hết tổng thể những số thực và số phức đều là những số siêu việt .

Hình học đại số[sửa|sửa mã nguồn]

Hình học đại số là một nhánh của toán học, nghiên cứu và điều tra một cách cổ xưa những nghiệm của phương trình đa thức. Hình học đại số tân tiến dựa trên những kỹ thuật trừu tượng hơn của đại số trừu tượng, đặc biệt quan trọng là đại số giao hoán, với ngôn từ và những yếu tố của hình học .Đối tượng nghiên cứu và điều tra cơ bản của hình học đại số là những dạng đại số, là những bộc lộ hình học của những nghiệm của hệ phương trình đa thức. Ví dụ về những lớp phong phú đại số được điều tra và nghiên cứu nhiều nhất là : đường cong đại số phẳng, gồm có đường thẳng, đường tròn, parabol, hình elip, hypebol, đường cong hình khối như đường cong elliptic và đường cong tứ phương như hình chanh, và hình bầu dục Cassini. Một điểm của mặt phẳng thuộc một đường cong đại số nếu tọa độ của nó thỏa mãn nhu cầu một phương trình đa thức đã cho. Các câu hỏi cơ bản tương quan đến việc điều tra và nghiên cứu những điểm chăm sóc đặc biệt quan trọng như điểm kỳ dị, điểm uốn và điểm ở vô cùng. Các câu hỏi nâng cao hơn tương quan đến cấu trúc link của đường cong và quan hệ giữa những đường cong được cho bởi những phương trình khác nhau .

Phương trình vi phân[sửa|sửa mã nguồn]

Phương trình vi phân là một phương trình toán học liên hệ 1 số ít hàm với những đạo hàm của nó. Trong những ứng dụng, những hàm thường đại diện thay mặt cho những đại lượng vật lý, những đạo hàm đại diện thay mặt cho vận tốc đổi khác của chúng và phương trình xác lập mối quan hệ giữa hai hàm. Bởi vì những mối quan hệ như vậy là rất phổ cập, phương trình vi phân đóng một vai trò quan trọng trong nhiều ngành gồm có vật lý, kỹ thuật, kinh tế tài chính và sinh học .Trong toán học thuần túy, phương trình vi phân được điều tra và nghiên cứu từ nhiều góc nhìn khác nhau, đa phần chăm sóc đến nghiệm của chúng – tập những hàm thỏa mãn nhu cầu phương trình. Chỉ những phương trình vi phân đơn thuần nhất mới hoàn toàn có thể giải được bằng công thức tường minh ; tuy nhiên, một số ít đặc thù của nghiệm của một phương trình vi phân đã cho hoàn toàn có thể được xác lập mà không cần tìm dạng đúng mực của chúng .Nếu không có công thức riêng cho giải pháp, thì giải thuật hoàn toàn có thể được tính gần đúng về mặt số học bằng máy tính. Lý thuyết hệ động lực tập trung chuyên sâu vào nghiên cứu và phân tích định tính những hệ được miêu tả bằng phương trình vi phân, trong khi nhiều chiêu thức số đã được tăng trưởng để xác lập những nghiệm với một mức độ đúng chuẩn nhất định .

Phương trình vi phân thường[sửa|sửa mã nguồn]

Một phương trình vi phân thông thường hoặc ODE là một phương trình chứa một hàm của một biến độc lập và các đạo hàm của nó. Thuật ngữ ” thông thường ” được sử dụng trái ngược với thuật ngữ phương trình vi phân riêng phần, có thể liên quan đến nhiều hơn một biến độc lập.

Phương trình vi phân tuyến tính, có những nghiệm hoàn toàn có thể được thêm và nhân với thông số, được xác lập và hiểu rõ, đồng thời thu được những nghiệm dạng đóng đúng chuẩn. trái lại, những ODE thiếu những giải pháp cộng là phi tuyến tính và việc giải chúng phức tạp hơn nhiều, vì người ta hiếm khi hoàn toàn có thể màn biểu diễn chúng bằng những hàm cơ bản ở dạng đóng : Thay vào đó, những giải pháp đúng mực và giải tích của ODE ở dạng chuỗi hoặc tích phân. Các chiêu thức đồ thị và số, được vận dụng bằng tay hoặc bằng máy tính, hoàn toàn có thể ước tính những giải pháp của ODE và hoàn toàn có thể mang lại thông tin hữu dụng, thường chỉ đủ trong trường hợp không có những nghiệm số tích phân đúng mực .

Phương trình vi phân riêng phần[sửa|sửa mã nguồn]

Phương trình đạo hàm riêng hoặc PDE là một phương trình vi phân có chứa các hàm nhiều biến chưa biết và các đạo hàm riêng của chúng. (Điều này trái ngược với các phương trình vi phân thông thường, xử lý các hàm của một biến duy nhất và các đạo hàm của chúng.) PDE được sử dụng để xây dựng các vấn đề liên quan đến các hàm của một số biến và được giải quyết bằng tay hoặc được sử dụng để tạo ra một mô hình máy tính có liên quan.

PDE có thể được sử dụng để mô tả một loạt các hiện tượng như âm thanh, nhiệt, tĩnh điện, điện động lực học, dòng chất lỏng, độ đàn hồi, hoặc cơ học lượng tử. Các hiện tượng vật lý có vẻ khác biệt này có thể được hình thức hóa tương tự về mặt PDE. Cũng giống như phương trình vi phân thông thường thường mô hình hệ động lực một chiều, phương trình đạo hàm riêng thường mô hình hệ thống nhiều chiều. PDE tìm thấy tổng quát của chúng trong các phương trình vi phân riêng ngẫu nhiên.

Các loại phương trình[sửa|sửa mã nguồn]

Các phương trình hoàn toàn có thể được phân loại theo những loại hoạt động giải trí và số lượng tương quan. Các loại quan trọng gồm có :

  1. ^ The subject of this article is basic in mathematics, and is treated in a lot of textbooks. Among them, Lay 2005, Meyer 2001, and Strang 2005 contain the material of this article .

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *