Phương trình bậc ba – Wikipedia tiếng Việt

Đồ thị của hàm số bậc 3 có 3 nghiệm với 3 lần cắt trục hoành .

Phương trình bậc ba được đề cập lần đầu tiên bởi nhà toán học Ấn Độ cổ Jaina khoảng giữa năm 400 TCN và 200 CN.

Nhà toán học Ba-tư Omar Khayyám ( 1048 – 1123 ) đã công bố việc giải phương trình bậc ba nhờ giao của một thiết diện co-nic với đường tròn. Ông công bố rằng lời y hoàn toàn có thể dùng để cho những giải thuật số nhờ những bảng lượng giác .

Sau này vào thế kỷ XVI, nhà toán học người Ý Scipione del Ferro (1465-1526) tìm ra cách giải một lớp các phương trình bậc ba dạng

x

3

+
m
x
+
n

{\displaystyle x^{3}+mx+n}

{\displaystyle x^{3}+mx+n} với

m
,
n
>
0

{\displaystyle m,n>0}

{\displaystyle m,n>0}” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e91082f201fdfd540ec8a582b019e1f876d58f00″/>.[1] Thực ra, mọi phương trình bậc ba có thể đưa về dạng này. Tuy nhiên có thể dẫn đến căn bậc hai của những số âm, điều đó lúc bấy giờ chưa giải quyết được. Del Ferro giữ kín điều này cho đến trước khi ông chết mới nói cho học trò ông là sinh viên Antonio Fiore về nó.</p>
<div style=

Bạn đang đọc: Phương trình bậc ba – Wikipedia tiếng Việt

Vào 1530, Niccolo Tartaglia ( 1500 – 1557 ) tiếp đón hai bài toán trong phương trình bậc ba từ Zuanne da Coi và công bố ông đã giải được chúng. Ông nhận lời thử thách của Fiore, và từ đó dấy lên cuộc cãi cự giữa hai người. Mỗi người hàng ngày đặt một số tiền và đưa ra một số ít bài toán cho đối thủ cạnh tranh giải. Ai giải được nhiều bài toán hơn trong 30 ngày thì nhận tổng thể số tiền .

Tartaglia khi giải quyết các vấn đề trong dạng

x

3

+
m
x
+
n

{\displaystyle x^{3}+mx+n}

, đã đề xuất một phương pháp tổng quát hơn. Fiore giải quyết các vấn đề trong dạng

x

3

+
m

x

2

+
n

{\displaystyle x^{3}+mx^{2}+n}

{\displaystyle x^{3}+mx^{2}+n} khó hơn và Tartaglia đã thắng cuộc.

Sau này, Tartaglia được Gerolamo Cardano (1501-1576) thuyết phục tiết lộ bí mật của cách giải phương trình bậc ba. Tartaglia đã đặt điều kiện yêu cầu Cardano không tiết lộ nó. Ít năm sau, Cardano hiểu được công trình của Ferro và vi phạm lời hứa khi công bố phương pháp Tartaglia trong cuốn sách của ông nhan đề Ars Magna (1545) với lời ca ngợi dành cho Tartaglia.

Với trường hợp đặc biệt là số

Δ

{\displaystyle \Delta }

{\displaystyle \Delta } âm, người ta hay dùng phương pháp lượng giác để giải quyết nó, tuy vậy, đây là phương pháp không đại số và nghiệm tính ra vẫn là gần đúng do phải sử dụng các hàm số

cos

{\displaystyle \cos }

{\displaystyle \cos }

arccos

{\displaystyle \arccos }

{\displaystyle \arccos }. Và công thức đại số cho nghiệm tổng quát vẫn chưa thể hoàn thiện. (Công thức đại số nghiệm tổng quát là công thức tìm ra nghiệm của phương trình tổng quát mà chỉ dùng hữu hạn lần 6 phép toán cơ bản là cộng (

+

{\displaystyle +}

{\displaystyle +}), trừ (

{\displaystyle -}

{\displaystyle -}), nhân (

×

{\displaystyle \times }

{\displaystyle \times }), chia (:), lũy thừa (^) và khai căn (√)).

α 3 x 3 + α 2 x 2 + α 1 x + α 0 = 0 { \ displaystyle \ alpha _ { 3 } x ^ { 3 } + \ alpha _ { 2 } x ^ { 2 } + \ alpha _ { 1 } x + \ alpha _ { 0 } = 0 }{\displaystyle \alpha _{3}x^{3}+\alpha _{2}x^{2}+\alpha _{1}x+\alpha _{0}=0}

Thông thường. trong toán học sơ cấp, các hệ số

α

i

{\displaystyle \alpha _{i}}

{\displaystyle \alpha _{i}} là các số thực. Tuy nhiên đa số lý thuyết cũng đúng nếu các hệ số lấy trong môi trường số phức (x thuộc C). Ta luôn giả sử rằng

α

3

{\displaystyle \alpha _{3}}

{\displaystyle \alpha _{3}} ≠ 0. Có thể giải được một phương trình bậc ba bằng căn thức.

Phương pháp Cardano[sửa|sửa mã nguồn]

Nghiệm của phương trình hoàn toàn có thể tìm được bằng chiêu thức sau, yêu cầu bởi Scipione del Ferro và Niccolò Tartaglia, công bố bởi Gerolamo Cardano năm 1545. [ 1 ]Trước tiên, chia phương trình cho α 3 { \ displaystyle \ alpha _ { 3 } } để đưa về dạng

x 3 + a x 2 + b x + c = 0. ( 1 ) { \ displaystyle x ^ { 3 } + ax ^ { 2 } + bx + c = 0. \ qquad ( 1 ) }{\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0.\qquad (1)}

Đặt

x
=
t

a
3

{\displaystyle x=t-{\frac {a}{3}}}

{\displaystyle x=t-{\frac {a}{3}}} và biến đổi ta có phương trình

t 3 + p t + q = 0, { \ displaystyle t ^ { 3 } + pt + q = 0, }{\displaystyle t^{3}+pt+q=0,}p = b − a 2 3 { \ displaystyle p = b – { \ frac { a ^ { 2 } } { 3 } } }{\displaystyle p=b-{\frac {a^{2}}{3}}}q = c + 2 a 3 − 9 a b 27. ( 2 ) { \ displaystyle q = c + { \ frac { 2 a ^ { 3 } – 9 ab } { 27 } }. \ qquad ( 2 ) }{\displaystyle q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}.\qquad (2)}

Nó được gọi là phương trình bậc ba suy biến.

Ta sẽ tìm các số

u

{\displaystyle u}

{\displaystyle u}

v

{\displaystyle v}

v sao cho

u 3 − v 3 = q { \ displaystyle u ^ { 3 } – v ^ { 3 } = q }{\displaystyle u^{3}-v^{3}=q}u v = p 3. ( 3 ) { \ displaystyle uv = { \ frac { p } { 3 } }. \ qquad ( 3 ) }{\displaystyle uv={\frac {p}{3}}.\qquad (3)}

một nghiệm của nó tìm được từ việc đặt

t = v − u, { \ displaystyle t = v-u, \, }{\displaystyle t=v-u,\,}

có thể kiểm tra trực tiếp khi thay giá trị

t

{\displaystyle t}

t vào (2), nhờ hằng đảng thức lập phương của nhị thức

( v − u ) 3 + 3 u v ( v − u ) + ( u 3 − v 3 ) = 0 { \ displaystyle ( v-u ) ^ { 3 } + 3 uv ( v-u ) + ( u ^ { 3 } – v ^ { 3 } ) = 0 \, }{\displaystyle (v-u)^{3}+3uv(v-u)+(u^{3}-v^{3})=0\,}

Hệ (3) có thể giải từ phương trình thứ hai rút

v

{\displaystyle v}

, ta có

v = p 3 u. { \ displaystyle v = { \ frac { p } { 3 u } }. }{\displaystyle v={\frac {p}{3u}}.}

Thay vào phương trình thứ nhất trong (3) ta có

u 3 − p 3 27 u 3 = q. { \ displaystyle u ^ { 3 } – { \ frac { p ^ { 3 } } { 27 u ^ { 3 } } } = q. }{\displaystyle u^{3}-{\frac {p^{3}}{27u^{3}}}=q.}

Phương trình này tương đương với một phương trình bậc hai với u3. Khi giải, ta tìm được

u = q 2 ± q 2 4 + p 3 27 3. ( 4 ) { \ displaystyle u = { \ sqrt [ { 3 } ] { { q \ over 2 } \ pm { \ sqrt { { q ^ { 2 } \ over 4 } + { p ^ { 3 } \ over 27 } } } } }. \ qquad ( 4 ) }{\displaystyle u={\sqrt[{3}]{{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.\qquad (4)}

Vì t = v − u, { \ displaystyle t = v-u, \, } và x = t − a 3 { \ displaystyle x = t – { \ frac { a } { 3 } } }, ta tìm được

x = p 3 u − u − a 3. { \ displaystyle x = { \ frac { p } { 3 u } } – u – { a \ over 3 }. }{\displaystyle x={\frac {p}{3u}}-u-{a \over 3}.}

Chú ý rằng, có sáu giá trị

u

{\displaystyle u}

tìm được từ (4), vì có hai căn bậc ba ứng với hai dấu (

±

{\displaystyle \pm }

{\displaystyle \pm }), và mỗi căn bậc ba có ba giá trị (một giá trị thực và hai tích của nó với


1

/

2
±
i

3

/

2

{\displaystyle -1/2\pm i{\sqrt {3}}/2}

{\displaystyle -1/2\pm i{\sqrt {3}}/2}). Tuy nhiên, dấu của các căn phải chọn sao cho khi tính

x

{\displaystyle x}

x, không gặp trường hợp chia cho không. Thứ nhất, nếu

p
=
0

{\displaystyle p=0}

{\displaystyle p=0}, thì chọn dấu của căn bậc hai sao cho

u

0.

{\displaystyle u\neq 0.}

{\displaystyle u\neq 0.}, i.e.

u
=

q

3

{\displaystyle u={\sqrt[{3}]{q}}}

{\displaystyle u={\sqrt[{3}]{q}}}. Thứ hai, nếu

p
=
q
=
0

{\displaystyle p=q=0}

{\displaystyle p=q=0}, thì ta có

x
=

a
3

.

{\displaystyle x=-{\frac {a}{3}}.}

{\displaystyle x=-{\frac {a}{3}}.}.

Phương pháp tổng hợp và lượng giác tìm nghiệm thực cho mọi trường hợp[sửa|sửa mã nguồn]

Đây là phần tóm tắt kết quả bài giải phương trình bậc ba:

a

x

3

+
b

x

2

+
c
x
+
d
=
0

(
a

0
)

{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\quad (a\neq 0)}

{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\quad (a\neq 0)}

( Lưu ý là những tác dụng của lượng giác này chỉ ở trong thiên nhiên và môi trường radian )Đặt những giá trị :

Δ
=

b

2


3
a
c

{\displaystyle \Delta =b^{2}-3ac}

{\displaystyle \Delta =b^{2}-3ac}

k
=

9
a
b
c

2

b

3


27

a

2

d

2

|

Δ

|

3

(
Δ

0
)

{\displaystyle k={\frac {9abc-2b^{3}-27a^{2}d}{2{\sqrt {|\Delta |^{3}}}}}\qquad (\Delta \neq 0)}

{\displaystyle k={\frac {9abc-2b^{3}-27a^{2}d}{2{\sqrt {|\Delta |^{3}}}}}\qquad (\Delta \neq 0)}

1) Nếu

Δ
>
0

{\displaystyle \Delta >0}

{\displaystyle \Delta >0}” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5bba4bbddf69fb5d000a3d8a9daba0a36b5e720″/>
</p>
<dl>
<dd>1.1) <span class=| k | ≤ 1 { \ displaystyle | k | \ leq 1 }{\displaystyle |k|\leq 1}

x 1 = 2 Δ cos ⁡ ( arccos ⁡ ( k ) 3 ) − b 3 a { \ displaystyle x_ { 1 } = { \ frac { 2 { \ sqrt { \ Delta } } \ cos \ left ( { \ frac { \ arccos ( k ) } { 3 } } \ right ) – b } { 3 a } } }{\displaystyle x_{1}={\frac {2{\sqrt {\Delta }}\cos \left({\frac {\arccos(k)}{3}}\right)-b}{3a}}}

x

2

=

2

Δ

cos

(

arccos

(
k
)

3

2
π

3

)


b

3
a

{\displaystyle x_{2}={\frac {2{\sqrt {\Delta }}\cos \left({\frac {\arccos(k)}{3}}-{\frac {2\pi }{3}}\right)-b}{3a}}}

{\displaystyle x_{2}={\frac {2{\sqrt {\Delta }}\cos \left({\frac {\arccos(k)}{3}}-{\frac {2\pi }{3}}\right)-b}{3a}}}

x 3 = 2 Δ cos ⁡ ( arccos ⁡ ( k ) 3 + 2 π 3 ) − b 3 a { \ displaystyle x_ { 3 } = { \ frac { 2 { \ sqrt { \ Delta } } \ cos \ left ( { \ frac { \ arccos ( k ) } { 3 } } + { \ frac { 2 \ pi } { 3 } } \ right ) – b } { 3 a } } }{\displaystyle x_{3}={\frac {2{\sqrt {\Delta }}\cos \left({\frac {\arccos(k)}{3}}+{\frac {2\pi }{3}}\right)-b}{3a}}}

1.2) | k | > 1 { \ displaystyle | k | > 1 }{\displaystyle |k|>1}” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffd1fc6dd48bb152cc42f088cc63962bf814320″/></span></dd>
</dl>
<p><span class=x = Δ | k | 3 a k ( | k | + k 2 − 1 3 + | k | − k 2 − 1 3 ) − b 3 a { \ displaystyle x = { \ frac { { \ sqrt { \ Delta } } | k | } { 3 ak } } \ left ( { \ sqrt [ { 3 } ] { | k | + { \ sqrt { k ^ { 2 } – 1 } } } } + { \ sqrt [ { 3 } ] { | k | – { \ sqrt { k ^ { 2 } – 1 } } } } \ right ) – { \ frac { b } { 3 a } } }{\displaystyle x={\frac {{\sqrt {\Delta }}|k|}{3ak}}\left({\sqrt[{3}]{|k|+{\sqrt {k^{2}-1}}}}+{\sqrt[{3}]{|k|-{\sqrt {k^{2}-1}}}}\right)-{\frac {b}{3a}}}

2) Nếu

Δ
=
0

{\displaystyle \Delta =0}

{\displaystyle \Delta =0}:

2.1) b 3 − 27 a 2 d = 0 { \ displaystyle b ^ { 3 } – 27 a ^ { 2 } d = 0 }{\displaystyle b^{3}-27a^{2}d=0}

x = − b 3 a { \ displaystyle x = { \ frac { – b } { 3 a } } }{\displaystyle x={\frac {-b}{3a}}}

2.2) b 3 − 27 a 2 d ≠ 0 { \ displaystyle b ^ { 3 } – 27 a ^ { 2 } d \ neq 0 }{\displaystyle b^{3}-27a^{2}d\neq 0}

x
=


b
+

b

3


27

a

2

d

3

3
b

{\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt[{3}]{b^{3}-27a^{2}d}}}{3b}}}

{\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt[{3}]{b^{3}-27a^{2}d}}}{3b}}}

3) Nếu

Δ
< 0 {\displaystyle \Delta <0} {\displaystyle \Delta <0}: Phương trình có một nghiệm duy nhất

x = | Δ | 3 a ( k + k 2 + 1 3 + k − k 2 + 1 3 ) − b 3 a { \ displaystyle x = { \ frac { \ sqrt { | \ Delta | } } { 3 a } } \ left ( { \ sqrt [ { 3 } ] { k + { \ sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } } } + { \ sqrt [ { 3 } ] { k – { \ sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } } } \ right ) – { \ frac { b } { 3 a } } }{\displaystyle x={\frac {\sqrt {|\Delta |}}{3a}}\left({\sqrt[{3}]{k+{\sqrt {k^{2}+1}}}}+{\sqrt[{3}]{k-{\sqrt {k^{2}+1}}}}\right)-{\frac {b}{3a}}}

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]

Source: https://tmsquynhon.com.vn
Category: CRYPTO

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.